y=x+4/x(x∈[3,5]) 求函数的值域

设3≤x1<x2≤5
则y1-y2
=(x1+4/x1)-(x2+4/x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1-4/(x1x2)]
因为x1≥3，x2>3
所以x1x2>9，1-4/(x1x2)>0
又x1-x2<0
所以y1-y2<0，y1<y2
所以函数在[3，5]内是单调增函数
当x=3时，y=13/3；当x=5时，y=29/5
所以函数在[3，5]内的值域是[13/3，29/5]

当X=4/X时有最值，x=2，结合图，再第一象限为最小值，当x>2时，函数单调增，所以值域[13/3,29/5]

因为y=x+4/x在x∈[2，正无穷]上单调递增，所以当X=3时Y最小，Y=13/3。当X=5时Y最大，Y=29/5